Codeforces 1238D - AB-string

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题目链接：Codeforces 1238D

反向考虑，要求好子串的数量，就用总字串的数量 \(n \choose 2\) 里减去坏子串的数量。\(n \choose 2\) 的原因是长度为 \(1\) 的可以不用考虑，它一定是不满足条件的，所以总量是长度大于等于2的所有子串的数量，要减去的是长度大于等于 \(2\) 的所有坏子串的数量。 考虑什么样的串是坏的，对于一个子串 \(t[1\cdots k]\)，只要存在一个 \(t[i]\) 不包含于任何一个长度大于二的回文中，那么 \(t[1\cdots k]\) 就是坏的。而实际上，\(t[i]=t[i-1]\) 或 \(t[i]=t[i+1]\) 的时候，显然是存在的，因为至少有一个长度为2的回文，如果 \(t[i] \neq t[i-1]\) 并且 \(t[i] \neq t[i+1]\)，那么可以形成长度为 \(3\) 的回文。所以如果存在这样一个 \(t[i]\) 使得 \(t[1\cdots k]\) 是坏的，那么要么 \(i=1\)，要么 \(i=k\)。

如果我们从 \(t[2]\) 往后能找到一个（最前面一个）\(t[i]=t[1]\)，那么说明 \(t[1]\) 一定包含在回文串里，对于 \(t[k]\) 类似。所以坏的串具有这样的形式：

  • ABB...B
  • BAA...A
  • A...AAB
  • B...BBA

所以 \(O(n)\) 统计这些串的个数就可以了。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAX_N = 300000 + 5;
LL ans = 0;
int n;
char s[MAX_N];
int main() {
    scanf("%d", &n);
    scanf("%s", s + 1);
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        if (s[i] == s[i + 1]) continue;
        int last = i;
        for (int j = i + 1; j <= n && s[j] != s[i]; ++j) {
            --ans;
            last = j - 1;
        }
        i = last;
    }
    reverse(s + 1, s + n + 1);
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        if (s[i] == s[i + 1]) continue;
        int last = i;
        for (int j = i + 2; j <= n && s[j] != s[i]; ++j) {
            --ans;
            last = j - 1;
        }
        i = last;
    }
    ans += 1LL * n * (n - 1) / 2;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}