计蒜客 42397 - Digital Path

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题目链接：ICPC 2019 南京现场赛 C 题: Digital Path

思路

我们需要在相邻的 \(x\) 和 \(x + 1\) 之间建一条有向边。

定义 \(f(x, y, r)\) 为从一个入度为 \(0\) 的点开始，以坐标 \((x, y)\) 结尾，距离长度 \(4\) 还差长度 \(r\) 的最长路。

  • 当长度 \(L\) 小于 \(4\) 时，\(r = 4 - L\)
  • 否则 \(r = 0\)

定义好了这个状态，我们就可以做动态规划了。

对于 \(r \in \{0, 1, 2, 3\}\)：

\[f(x, y, r) = f(x_p, y_p, r + 1) + f(x, y, r)\]

其中 \((x_p, y_p)\) 是 \((x, y)\) 的前置节点（如果有从 \((x_p, y_p)\) 到 \((x, y)\) 的边的话）。

对于 \(r = 0\) 时还有：

\[f(x, y, 0) = f(x_p, y_p, 0) + f(x, y, 0)\]

对于所有入度为 \(0\) 的节点有：

\[f(x, y, 3) = 1\]

为了避免重复计算，我们需要对整张图进行拓扑排序，然后在所有出度为 \(0\) 的点处统计答案。

代码

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct Status {
    int x, y;
};

const int P = int(1E9) + 7;
const int MAX_N = 1000 + 5;
const int dx[] = {0, 0, 1, -1};
const int dy[] = {-1, 1, 0, 0};

// opt(x, y, r)
// x, y: coordinate
// r: how far is it from 4
int n, m, a[MAX_N][MAX_N], in_deg[MAX_N][MAX_N], opt[MAX_N][MAX_N][4], ans;
char tag[MAX_N][MAX_N];
Status sorted[MAX_N * MAX_N];

bool is_valid(int x, int y) {
    return x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m;
}

void calculate_in_deg() {
    // edge: x -> x + 1
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
            for (int k = 0; k < 4; ++k) {
                int nx = i + dx[k], ny = j + dy[k];
                if (is_valid(nx, ny) && a[nx][ny] + 1 == a[i][j]) {
                    ++in_deg[i][j];
                } 
            }
        }
    }
}

queue<Status> q;
void topological_sort() {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
            if (in_deg[i][j] == 0) {
                q.push({i, j});
                tag[i][j] = 'S';
            }
        }
    }

    int sorted_ptr = 0;
    while (!q.empty()) {
        auto f = q.front();
        q.pop();
        sorted[sorted_ptr++] = f;

        int nex_cnt = 0;
        for (int i = 0; i < 4; ++i) {
            int nx = f.x + dx[i], ny = f.y + dy[i];
            if (is_valid(nx, ny) && a[nx][ny] == a[f.x][f.y] + 1) {
                ++nex_cnt;
            }
            if (is_valid(nx, ny) && a[nx][ny] == a[f.x][f.y] + 1 && (--in_deg[nx][ny]) == 0) {
                q.push({nx, ny});
            }
        }

        if (nex_cnt == 0) {
            tag[f.x][f.y] = 'T';
        }
    }
}

void calculate() {
    int tot = n * m;
    for (int i = 0; i < tot; ++i) {
        int x = sorted[i].x, y = sorted[i].y;
        
        if (tag[x][y] == 'S') {
            opt[x][y][3] = 1;
            continue;
        }

        for (int k = 0; k < 4; ++k) {
            int pre_x = x + dx[k], pre_y = y + dy[k];
            if (is_valid(pre_x, pre_y) && a[pre_x][pre_y] + 1 == a[x][y]) {
                for (int r = 2; r >= 0; --r) {
                    opt[x][y][r] = (opt[pre_x][pre_y][r + 1] + opt[x][y][r]) % P;
                }
                opt[x][y][0] = (opt[pre_x][pre_y][0] + opt[x][y][0]) % P;
            }
        }

        if (tag[x][y] == 'T') {
            ans = (ans + opt[x][y][0]) % P;
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }

    calculate_in_deg();

    topological_sort();

    calculate();

    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

复杂度

  • 时间复杂度：\(O(n \times m)\)。
  • 空间复杂度：\(O(n \times m)\)。